概要
本論文では, 大きさ $k$ の和因子が重複度 $l$ で選ばれたときに特定の重みを割り当てる2変数の重み関数 $f(k, l)$ によってパラメータ化された, 整数の分割への一般化されたアプローチである「統一的無限乗積（Unified Infinite Product）」の枠組みを導入する. 分割の生成関数を形式的べき級数として扱うことにより, 本枠組みがオイラーの分割恒等式から第二種スターリング数の自然な導出に至るまでの古典的な組み合わせ論的結果を一元的に統一することを示す. さらに, 異なる局所的な重みの与え方が同一の大域的生成関数をもたらす「関数の退化（functional degeneracy）」という現象を明らかにする. この対称性を解明するために, コーシー積の下での正規化された重み関数の空間が, 主単元群の無限直積に同型であること（$\mathcal{F} \cong G^{\mathbb{N}}$）を証明し, 厳密な代数的基盤を確立する. この代数的視点は, 群準同型の核を通じてこの退化を完全に特徴付けるとともに, 複雑な無限乗積が初等的な多項式へとエレガントに帰着する「完全平坦化（perfect flattening）」のメカニズムを明らかにする.
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