皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 「ディリクレベータ関数の正の奇数における値を三角関数の無限積表示を用いて計算する方法」という記事の中で出てくる
\[
\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right) = \left( 1 + \frac{z}{1} \right)\left( 1-\frac{z}{3} \right)\left( 1 + \frac{z}{5} \right)\left( 1-\frac{z}{7} \right) \cdots
\] という式を生成 AI を使って証明できたので, その証明を紹介したいと思います.
証明
複素変数 \(w\) に対する正弦関数の無限乗積展開の式
\begin{equation}
\sin \pi w = \pi w \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1-\frac{w^2}{n^2} \right)
\end{equation} に \(w = \frac{z + 1}{4}\) を代入すると,
\[
\sin \frac{\pi (z + 1)}{4} = \frac{\pi (z + 1)}{4} \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1-\frac{(z+1)^2}{16n^2} \right) \tag{*} \label{sin-prod}
\] を得ます. ここで,
\begin{align}
1-\frac{(z+1)^2}{16n^2} &= \frac{16n^2-(z+1)^2}{16n^2} \\
&= \frac{(4n-z-1)(4n+z+1)}{16n^2} \\
&= \frac{(4n-1-z)(4n+1+z)}{16n^2} \\
&= \frac{4n-1-z}{4n-1} \cdot \frac{4n+1+z}{4n+1} \cdot \frac{(4n-1)(4n+1)}{16n^2} \\
&= \left( 1-\frac{z}{4n-1} \right) \left( 1+\frac{z}{4n+1} \right) \cdot \frac{(4n-1)(4n+1)}{16n^2}
\end{align} となるので,
\[
P(z) = \left( 1+\frac{z}{1} \right) \left( 1-\frac{z}{3} \right) \left( 1+\frac{z}{5} \right) \left( 1-\frac{z}{7} \right) \cdots
\] とおくと,
\begin{align}
\sin \frac{\pi (z + 1)}{4} &= \frac{\pi}{4} \cdot (1+z) \cdot \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{(z+1)^2}{16n^2} \right) \\
&= \frac{\pi}{4} \cdot P(z) \cdot \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(4n-1)(4n+1)}{16n^2}
\end{align} となります. ここで,
\[
C = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(4n-1)(4n+1)}{16n^2}
\] とおいて, 式 \eqref{sin-prod} に \(z = 0\) を代入すると,
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} \cdot C
\] を得ます. したがって,
\[
\sin \frac{\pi (z + 1)}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} P(z)
\] すなわち, 冒頭の
\[
\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right) = \left( 1 + \frac{z}{1} \right)\left( 1-\frac{z}{3} \right)\left( 1 + \frac{z}{5} \right)\left( 1-\frac{z}{7} \right) \cdots
\] という式が示されました.
コメント