これは数学に余裕のある人向けの記事である. 厳密性に欠ける部分もあるが, バーゼル問題のオイラーの解法をもじったものであり, アイデア的には面白いと思う.
ここで示したいのは次の級数である：
\[
\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\]
【証明】
\( \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right) \) は \(z = -1, 3, -5, 7, -9, \cdots\) で \(0\) となるから, \(c\) を定数とすると,
\[
c \cdot \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right) = \left( 1 + \frac{z}{1} \right)\left( 1-\frac{z}{3} \right)\left( 1 + \frac{z}{5} \right)\left( 1-\frac{z}{7} \right) \cdots
\]
と因数分解できる（と思う）. この式に \(z = 0\) を代入すると, \(c = \sqrt{2}\) が導かれるから,
\[
\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right) = \left( 1 + \frac{z}{1} \right)\left( 1-\frac{z}{3} \right)\left( 1 + \frac{z}{5} \right)\left( 1-\frac{z}{7} \right) \cdots
\]
を得る. 一方, 三角関数の加法定理とマクローリン展開により,
\begin{align}
\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi (z + 1)}{4} \right)
&= \cos \frac{\pi z}{4} + \sin \frac{\pi z}{4} \\
&= \left( 1-\frac{1}{2!} \left( \frac{\pi z}{4} \right)^2 + \frac{1}{4!} \left( \frac{\pi z}{4} \right)^4-\cdots \right)
+
\left( \frac{1}{1!} \cdot \frac{\pi z}{4}-\frac{1}{3!} \left( \frac{\pi z}{4} \right)^3 + \frac{1}{5!} \left( \frac{\pi z}{4} \right)^5-\cdots \right) \\
&= 1 + \frac{\pi}{4} z-\frac{\pi ^ 2}{2! \cdot 4 ^ 2 } z^2-\frac{\pi ^ 3}{3! \cdot 4^3} z^3 + \frac{\pi ^ 4}{4! \cdot 4^4} z^4 + \cdots
\end{align}
となる. よって, \(z\) の係数を比較して,
\[
\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\]を得る. ■
ちなみに, ニュートンの恒等式などを用いて, \(z^3\) の係数を比較すると,
\[
\frac{\pi ^ 3}{32} = \frac{1}{1^3}- \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3}- \frac{1}{7^3} + \cdots
\]を得ることができる.
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