対称群の共役類と整数の分割について

この記事では, 対称群 \(S_n\) が与えられたとき, その共役類と \(n\) の分割が一対一対応することを示します.

さらに「おまけ」のセクションでは, 対称群 \(S_n\) 共役類の符号の和 \(\sum_{c \in \textrm{Conj}(S_n)} \textrm{sgn}(c)\) が
\[
\sum_{c \in \textrm{Conj}(S_n)} \textrm{sgn}(c) = p(n | 和因子は相異なる奇数)
\] という等式を満たすことを母関数を使って示したいと思います. ここで, 条件 \(P\) に対し, \(p(n | P)\) は条件 \(P\) を満たすような \(n\) の分割の個数を意味します. なので, \(p(n | 和因子は相異なる奇数)\) は \(n\) の分割であってその和因子が相異なる奇数であるようなものの個数を意味します.

対称群 \(S_n\) とサイクルタイプ

まず, 群 \(G\) が与えられたとき, その共役類とは何か, というところからおさらいをしたいと思います.

定義: \(G\) を群とする. \( g, g’ \in G \) に対して,
\[
g \sim g’ \Longleftrightarrow 「ある x \in G が存在して g = x g’ x^{-1} が成り立つ」
\] と定義すると, \( \sim \) は \(G\) 上の同値関係になる. この \( \sim \) による同値類を \( G \) の共役類という. \(G\) の共役類全体を \( \textrm{Conj}(G) \) と書くことにする.

次に, 対称群 \(S_n\) の巡回置換の定義をおさらいします.

定義:集合 \( \{ 1, 2, \cdots, n \} \) に属する相異なる \(p\) 個の元 \( i_1, i_2, \cdots, i_p \) に対し, \( S_n \) の元 \( \tau = (i_1, i_2, \cdots, i_p) \) を
\begin{align}
\tau (i_k) &= i_{k + 1} \ \ \ \ (k = 1, 2, \cdots, p-1 のとき), \\
\tau (i_p) &= i_1, \\
\tau (j) &= j \ \ \ \ \ \ (j \in \{ 1, 2, \cdots, n \} \backslash \{ i_1, i_2, \cdots, i_p \} のとき)
\end{align} で定義し, これを長さ \(p\) の巡回置換という.

上の巡回置換の定義において, 特に \( p = 1 \) ならば, \( \tau = (i_1) \) は \(S_n\) の単位元です.

命題 1:対称群 \(S_n\) の任意の元 \(\sigma\) は,
\[
\sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s
\] の形に書ける. ここで \(s\) は \(1\) 以上の整数であり, \(\tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_s \) はそれぞれ長さが \( l_1, l_2, \cdots, l_s \) の巡回置換で, \(i \neq j\) のとき \( \tau_i \) と \(\tau_j\) は共通部分がなく, \(l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_s > 0\) かつ \( l_1 + l_2 + \cdots + l_s = n \) である.

具体例で確認してみましょう. \(n = 15\) とし, 対称群 \( S_{15} \) における,
\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
7 & 10 & 3 & 12 & 9 & 6 & 4 & 13 & 5 & 2 & 14 & 1 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] という元を考えます. \( \sigma \) において 1 は 7 にうつり, 7 は 4 にうつり, 4 は 12 にうつり, 12 は 1 にうつります. よって,
\[
\sigma =
(1, 7, 4, 12)
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
10 & 3 & 9 & 6 & 13 & 5 & 2 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] となります. ここで, 2 は 10 にうつり, 10 は 2 にうつるので,
\[
\sigma =
(1, 7, 4, 12)(2, 10)
\begin{pmatrix}
3 & 5 & 6 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
3 & 9 & 6 & 13 & 5 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] となります. 以下, 同様に考えていくと,
\begin{align}
\sigma &=
(1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)
\begin{pmatrix}
5 & 6 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
9 & 6 & 13 & 5 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)
\begin{pmatrix}
6 & 8 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
6 & 13 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)
\begin{pmatrix}
8 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
13 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)(8, 13, 15)
\begin{pmatrix}
11 & 14 \\
14 & 11 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)(8, 13, 15)(11, 14)
\end{align} となります. これで, \( \sigma \) が互いに共通部分を持たない巡回置換の積で書けました. これらの巡回置換は互いに可換なので,
\[
\sigma = (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6)
\] と書くことができます. よって,
\begin{align}
\tau_1 &= (1, 7, 4, 12), \\
\tau_2 &= (8, 13, 15), \\
\tau_3 &= (2, 10), \\
\tau_4 &= (5, 9), \\
\tau_5 &= (11, 14), \\
\tau_6 &= (3), \\
\tau_7 &= (6) \\
\end{align} とすれば, 各 \(\tau_i\) は巡回置換であり, \( \sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_7 \) であり, \( \tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_7 \) の長さをそれぞれ \(l_1, l_2, \cdots l_7 \) とすると, \( l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_7 \) であり, かつ \(l_1 + l_2 + \cdots + l_7 = 15 = n \) が成り立ちます.

定義:命題 1 において, \(l_1, l_2, \cdots, l_s\) を 並べて \([l_1, l_2, \cdots l_s]\) と書いたものを \(\sigma\) のサイクルタイプという.

置換 \(\sigma \in S_n\) のサイクルタイプは \(n\) の分割になっています.

命題 2:任意の \( \sigma \in S_n \) に対して, \( \sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1} = (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) \) が成り立つ.

証明:\(i = 1, 2, \cdots, m-1\) のとき,
\begin{align}
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) \sigma (k_i) &= \sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) (k_i) \\
&= \sigma (k_{i + 1}) \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (\sigma(k_i)), \\
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) \sigma (k_m) &= \sigma(k_1) \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (\sigma(k_m))
\end{align} であり, \(x \notin \{\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m) \} \) なる \(x\) については \( \sigma^{-1}(x) \notin \{ k_1, k_2, \cdots, k_m \} \) が成り立つので,
\begin{align}
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) (x) &= \sigma \sigma^{-1} (x) \\
&= x \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (x)
\end{align} となる.

ここで, 先ほどの例においてサイクルタイプが \(\sigma = (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6)\) と等しい
\[
\sigma_0 = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9)(10, 11)(12, 13)(14)(15)
\] という \(S_{15}\) の元を考えます. \( \sigma_0 \) を一行目に, \( \sigma \) を二行目にした次の置換を考えます.
\[
\tau =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
1 & 7 & 4 & 12 & 8 & 13 & 15 & 2 & 10 & 5 & 9 & 11 & 14 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix} \\
\] このとき,
\begin{align}
\tau \sigma_0 \tau^{-1} &= \tau (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9)(10, 11)(12, 13)(14)(15) \tau^{-1} \\
&= \tau (1, 2, 3, 4) \tau^{-1} \tau (5, 6, 7) \tau^{-1} \tau (8, 9) \tau^{-1} \tau (10, 11) \tau^{-1} \tau (12, 13) \tau^{-1} \tau (14) \tau^{-1} \tau (15) \tau^{-1} \\
&= (\tau (1), \tau (2), \tau(3), \tau(4))(\tau(5), \tau(6), \tau(7))(\tau(8), \tau(9))(\tau(10), \tau(11))(\tau(12), \tau(13))(\tau(14))(\tau(15)) \\
&= (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6) \\
&= \sigma
\end{align} となり, \( \sigma \sim \sigma_0 \) であることが確認できます. ここで \(\sigma’ \in S_n\) のサイクルタイプが \(\sigma\) と等しい場合は, 同様にして \(\sigma’ \sim \sigma_0\) となるので, \(\sim\) が同値関係であることから \(\sigma \sim \sigma’\) が成り立ちます. 以上の議論により, 各 \(\sigma, \sigma’ \in S_n\) に対して,
\[
「\sigma \ と \ \sigma’ \ のサイクルタイプが等しい」\Longrightarrow \sigma \sim \sigma’
\] であるといえます.

逆に, \(\sigma_1, \sigma_2 \in S_n \) について \( \sigma_1 \sim \sigma_2 \) ならば \( \sigma_1 \) と \( \sigma_2 \) のサイクルタイプは等しいです。実際, \( \sigma_1 \sim \sigma_2 \) ならば, ある \( \tau \in S_n \) が存在して \( \sigma_1 = \tau \sigma_2 \tau^{-1} \) となりますが, \( \sigma_2 \) のサイクルタイプを \( [l_1, l_2, \cdots, l_s] \) とすると, \( \sigma_2 = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s \) (ただし \( \tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_s \) はそれぞれ長さが \( l_1, l_2, \cdots, l_s \) の巡回置換)と書くことができ,
\begin{align}
\sigma_1 &= \tau \sigma_2 \tau^{-1} \\
&= \tau \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s \tau^{-1} \\
&= \tau \tau_1 \tau^{-1} \tau \tau_2 \tau^{-1} \tau \tau_3 \tau^{-1} \cdots \tau \tau_s \tau^{-1}
\end{align} であり, これと命題 2 より, \( \sigma_1 \) のサイクルタイプも \( [l_1, l_2, \cdots, l_s] \) となります. したがって, 各 \(\sigma, \sigma’ \in S_n\) に対して,
\[
\sigma \sim \sigma’ \Longrightarrow 「\sigma \ と \ \sigma’ \ のサイクルタイプは等しい」
\] が成り立ちます.

ここで, 各 \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) に対して, \(c\) のサイクルタイプを次のように定義します. \(c\) からひとつの元 \(\sigma\) をとってきたとき, \(c\) のサイクルタイプを \(\sigma\) のサイクルタイプであると定義します. 上で述べた議論により, この定義は well-defined です.

さらに, \(\mathbf{Par}(n)\) を自然数 \(n\) の分割全体の集合とします. 写像 \(f: \textrm{Conj} (S_n) \rightarrow \mathbf{Par}(n)\) を
\[
c \mapsto c \ のサイクルタイプ
\] で定義します. このとき, \(f\) は全単射です.

証明:まずは \(f\) の全射性ですが, 任意の \(\lambda \in \mathbf{Par}(n)\) を固定したとき, \(\lambda = [l_1, l_2, \cdots, l_s]\)(ただし \(l_s > 0\))と書くことができます. 置換 \(\sigma \in S_n\) を次のようにして定めます. まず, \(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \cdots, \tau_s \in S_n\) を
\begin{align}
\tau_1 &= (1, \ 2, \cdots, \ l_1), \\
\tau_2 &= (l_1 + 1, \ l_1 + 2, \cdots, \ l_1 + l_2), \\
\tau_3 &= (l_1 + l_2 + 1, \ l_1 + l_2 + 2, \cdots, \ l_1 + l_2 + l_3), \\
&\vdots \\
\tau_s &= (l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + 1, \ l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + 2, \cdots, \ l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + l_s)
\end{align} で定義して,
\[
\sigma = \tau_1 \tau_2 \tau_3 \cdots \tau_s
\] と定めます. このとき, 各 \(i \in \{1, 2, 3, \cdots, s\}\) に対して, \(\tau_i\) は長さ \(l_i\) の巡回置換であり, \(i \neq j\) のとき \(\tau_i\) と \(\tau_j\) には共通部分がなく, \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) は \(n\) の分割なので \(l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_s > 0\) かつ \(l_1 + l_2 + \cdots + l_s = n\) となっています. ゆえに \(\sigma\) のサイクルタイプは \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) です. ここで, \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) を \(\sigma\) の属する共役類 \([\sigma]\) であると定めます. つまり, \(c = [\sigma]\) です. すると, \(c\) のサイクルタイプは \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) であるので, \(f(c) = \lambda\) です. 以上により, \(f\) は全射であることが示されました.

次に \(f\) は単射であることを示します. \(c_1, c_2 \in \textrm{Conj}(S_n)\) に対して \(f(c_1) = f(c_2)\) であるとします. \(\sigma_1 \in c_1, \ \sigma_2 \in c_2\) とすると, \(c_1 = [\sigma_1], c_2 = [\sigma_2]\) であり, \(\sigma_1\) のサイクルタイプは \(f(c_1)\) であり, \(\sigma_2\) のサイクルタイプは \(f(c_2)\) です. いま \(f(c_1) = f(c_2)\) なので, \(\sigma_1\) と \(\sigma_2\) のサイクルタイプは等しいです. よって \(\sigma_1 \sim \sigma_2\) であり, \([\sigma_1] = [\sigma_2]\) が成り立ちます. ゆえに \(c_1 = c_2\) です. したがって, \(f\) は単射です.

以上により, \(f\) は全単射であることが示されました.

従って, 次の定理が成り立つことがわかります.

定理:対称群 \(S_n\) の共役類は \( n \) の分割と一対一に対応する. したがって, 対称群 \(S_n\) の共役類の個数は \(p(n)\) と等しい.

置換の符号について

まずは対称群 \(S_n\) の互換というものを定義します.

定義:\(i, j \in \{1, 2, \cdots, n\} \) かつ \(i \neq j\) とする. \((i, j) \in S_n\) を, \(i\) と \(j\) を入れ換えて \( x \in \{1, 2, \cdots, n \} \backslash \{i, j \} \) を動かさない置換とする. (あるいは, 長さ 2 の巡回置換と見ても良い. )これを \(i\) と \(j\) の互換という.

対称群 \(S_n\) の任意の元は互換の積で表すことができることが知られています.

定義:対称群 \(S_n\) において, 偶数個の互換の積で表すことができる置換を偶置換, 奇数個の互換の積で表すことができる置換を奇置換という. そして, \( \sigma \in S_n \) に対して, その符号 sgn を
\[
\textrm{sgn}(\sigma) =
\begin{cases}
1, & \sigma は偶置換 \\
-1, & \sigma は奇置換
\end{cases}
\] で定義する.

上の定義は well-defined であることが知られています.

おまけ

さて, \( \sigma, \sigma’ \in S_n \) が \( \sigma \sim \sigma’\) を満たすとき, \( \textrm{sgn}(\sigma) = \textrm{sgn}(\sigma’) \) であるので, \(S_n\) の共役類の符号というものを考えることができます. つまり, 共役類 \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) の符号 \( \textrm{sgn}(c) \) とは, \(c\) からひとつの元 \( \tau \) をとってきたときの \(\tau \) の符号 \( \textrm{sgn}(\tau) \) のことです. ここで, \(S_n\) の共役類 \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) のサイクルタイプを \([l_1, l_2, \cdots, l_s] \) とします. 長さ \(k\) の巡回置換 \((\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k) \) について,
\[
(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k) = (\alpha_1, \alpha_k)(\alpha_1, \alpha_{k-1})\cdots(\alpha_1, \alpha_3)(\alpha_1, \alpha_2)
\] が成り立つので,
\[
\textrm{sgn}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k) = (-1)^{k-1}
\] となります. ゆえに,
\[
\textrm{sgn}(c) = (-1)^{l_1-1}(-1)^{l_2-1}\cdots(-1)^{l_s-1}
\] となります.

さらに, 次のような母関数を考えます.
\[
F(q) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \sum_{c \in \textrm{Conj}(S_n)} \textrm{sgn}(c) \right) q^n
\] さて, \(F(q)\) の定義より,
\begin{align}
F(q) &= 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{[l_1, \cdots, l_s] は n の分割} (-1)^{l_1-1} \cdots (-1)^{l_s-1} q^n \\
&= (1 + q^1+q^{1+1}+\cdots)(1-q^2+q^{2+2}-q^{2+2+2}+\cdots)(1+q^3+q^{3+3}+\cdots)(1-q^4+q^{4+4}-q^{4+4+4}+\cdots)\cdots \\
&= \frac{1}{1-q^1} \cdot \frac{1}{1+q^2} \cdot \frac{1}{1-q^3} \cdot \frac{1}{1+q^4} \cdot \frac{1}{1-q^5} \cdot \frac{1}{1+q^6} \cdots
\end{align} ここで,
\begin{align}
(1 + q^1)(1 + q^2)(1+ q^3)(1+q^4)\cdots
&= \frac{1-q^2}{1-q^1} \cdot \frac{1-q^4}{1-q^2} \cdot \frac{1-q^6}{1-q^3} \cdot \frac{1-q^8}{1-q^4} \cdots \\
&= \frac{\bcancel{1-q^2}}{1-q^1} \cdot \frac{\bcancel{1-q^4}}{\bcancel{1-q^2}} \cdot \frac{\bcancel{1-q^6}}{1-q^3} \cdot \frac{\bcancel{1-q^8}}{\bcancel{1-q^4}} \cdots \\
&= \frac{1}{1-q^1} \cdot \frac{1}{1-q^3} \cdot \frac{1}{1-q^5} \cdot \frac{1}{1-q^7} \cdots \\
\end{align} なので,
\begin{align}
F(q) &= (1+q^1)(1+q^3)(1+q^5)(1+q^7)\cdots \\
&= 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} p(n | 和因子は相異なる奇数) q^n
\end{align} となります. よって記事の冒頭にある

\[
\sum_{c \in \textrm{Conj}(S_n)} \textrm{sgn}(c) = p(n | 和因子は相異なる奇数)
\]

という式が示されました.

なお, \(p(n | 和因子は相異なる奇数) = p(n | 分割は自己共役) \) という式が知られています. 詳しくは
整数の分割
の「ヤング図形と共役な分割」を参照して下さい.

参考文献

『有限群の表現,対称群の表現の基礎』本間 泰史
https://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/representation.pdf

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