この記事では, 対称群 \(S_n\) が与えられたとき, その共役類と \(n\) の分割が一対一対応することを示します.
なお,「おまけ」のセクションは別の記事
対称群の共役類の符号の和
に移しました.
対称群 \(S_n\) とサイクルタイプ
まず, 群 \(G\) が与えられたとき, その共役類とは何か, というところからおさらいをしたいと思います.
定義： \(G\) を群とする. \( g, g’ \in G \) に対して,
\[
g \sim g’ \Longleftrightarrow 「ある x \in G が存在して g = x g’ x^{-1} が成り立つ」
\] と定義すると, \( \sim \) は \(G\) 上の同値関係になる. この \( \sim \) による同値類を \( G \) の共役類という. \(G\) の共役類全体を \( \textrm{Conj}(G) \) と書くことにする.
次に, 対称群 \(S_n\) の巡回置換の定義をおさらいします.
定義：集合 \( \{ 1, 2, \cdots, n \} \) に属する相異なる \(p\) 個の元 \( i_1, i_2, \cdots, i_p \) に対し, \( S_n \) の元 \( \tau = (i_1, i_2, \cdots, i_p) \) を
\begin{align}
\tau (i_k) &= i_{k + 1} \ \ \ \ (k = 1, 2, \cdots, p-1 のとき), \\
\tau (i_p) &= i_1, \\
\tau (j) &= j \ \ \ \ \ \ (j \in \{ 1, 2, \cdots, n \} \backslash \{ i_1, i_2, \cdots, i_p \} のとき)
\end{align} で定義し, これを長さ \(p\) の巡回置換という.
上の巡回置換の定義において, 特に \( p = 1 \) ならば, \( \tau = (i_1) \) は \(S_n\) の単位元です.
命題 1：対称群 \(S_n\) の任意の元 \(\sigma\) は,
\[
\sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s
\] の形に書ける. ここで \(s\) は \(1\) 以上の整数であり, \(\tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_s \) はそれぞれ長さが \( l_1, l_2, \cdots, l_s \) の巡回置換で, \(i \neq j\) のとき \( \tau_i \) と \(\tau_j\) は共通部分がなく, \(l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_s > 0\) かつ \( l_1 + l_2 + \cdots + l_s = n \) である.
具体例で確認してみましょう. \(n = 15\) とし, 対称群 \( S_{15} \) における,
\[
\sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
7 & 10 & 3 & 12 & 9 & 6 & 4 & 13 & 5 & 2 & 14 & 1 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] という元を考えます. \( \sigma \) において 1 は 7 にうつり, 7 は 4 にうつり, 4 は 12 にうつり, 12 は 1 にうつります. よって,
\[
\sigma =
(1, 7, 4, 12)
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
10 & 3 & 9 & 6 & 13 & 5 & 2 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] となります. ここで, 2 は 10 にうつり, 10 は 2 にうつるので,
\[
\sigma =
(1, 7, 4, 12)(2, 10)
\begin{pmatrix}
3 & 5 & 6 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
3 & 9 & 6 & 13 & 5 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix}
\] となります. 以下, 同様に考えていくと,
\begin{align}
\sigma &=
(1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)
\begin{pmatrix}
5 & 6 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
9 & 6 & 13 & 5 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)
\begin{pmatrix}
6 & 8 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
6 & 13 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)
\begin{pmatrix}
8 & 11 & 13 & 14 & 15 \\
13 & 14 & 15 & 11 & 8 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)(8, 13, 15)
\begin{pmatrix}
11 & 14 \\
14 & 11 \\
\end{pmatrix} \\
&= (1, 7, 4, 12)(2, 10)(3)(5, 9)(6)(8, 13, 15)(11, 14)
\end{align} となります. これで, \( \sigma \) が互いに共通部分を持たない巡回置換の積で書けました. これらの巡回置換は互いに可換なので,
\[
\sigma = (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6)
\] と書くことができます. よって,
\begin{align}
\tau_1 &= (1, 7, 4, 12), \\
\tau_2 &= (8, 13, 15), \\
\tau_3 &= (2, 10), \\
\tau_4 &= (5, 9), \\
\tau_5 &= (11, 14), \\
\tau_6 &= (3), \\
\tau_7 &= (6) \\
\end{align} とすれば, 各 \(\tau_i\) は巡回置換であり, \( \sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_7 \) であり, \( \tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_7 \) の長さをそれぞれ \(l_1, l_2, \cdots l_7 \) とすると, \( l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_7 \) であり, かつ \(l_1 + l_2 + \cdots + l_7 = 15 = n \) が成り立ちます.
定義：命題 1 において, \(l_1, l_2, \cdots, l_s\) を 並べて \([l_1, l_2, \cdots l_s]\) と書いたものを \(\sigma\) のサイクルタイプという.
置換 \(\sigma \in S_n\) のサイクルタイプは \(n\) の分割になっています.
命題 2：任意の \( \sigma \in S_n \) に対して, \( \sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1} = (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) \) が成り立つ.
証明：\(i = 1, 2, \cdots, m-1\) のとき,
\begin{align}
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) \sigma (k_i) &= \sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) (k_i) \\
&= \sigma (k_{i + 1}) \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (\sigma(k_i)), \\
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) \sigma (k_m) &= \sigma(k_1) \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (\sigma(k_m))
\end{align} であり, \(x \notin \{\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m) \} \) なる \(x\) については \( \sigma^{-1}(x) \notin \{ k_1, k_2, \cdots, k_m \} \) が成り立つので,
\begin{align}
(\sigma (k_1, k_2, \cdots, k_m) \sigma^{-1}) (x) &= \sigma \sigma^{-1} (x) \\
&= x \\
&= (\sigma(k_1), \sigma(k_2), \cdots, \sigma(k_m)) (x)
\end{align} となる.
ここで, 先ほどの例においてサイクルタイプが \(\sigma = (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6)\) と等しい
\[
\sigma_0 = (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9)(10, 11)(12, 13)(14)(15)
\] という \(S_{15}\) の元を考えます. \( \sigma_0 \) を一行目に, \( \sigma \) を二行目にした次の置換を考えます.
\[
\tau =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
1 & 7 & 4 & 12 & 8 & 13 & 15 & 2 & 10 & 5 & 9 & 11 & 14 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix} \\
\] このとき,
\begin{align}
\tau \sigma_0 \tau^{-1} &= \tau (1, 2, 3, 4)(5, 6, 7)(8, 9)(10, 11)(12, 13)(14)(15) \tau^{-1} \\
&= \tau (1, 2, 3, 4) \tau^{-1} \tau (5, 6, 7) \tau^{-1} \tau (8, 9) \tau^{-1} \tau (10, 11) \tau^{-1} \tau (12, 13) \tau^{-1} \tau (14) \tau^{-1} \tau (15) \tau^{-1} \\
&= (\tau (1), \tau (2), \tau(3), \tau(4))(\tau(5), \tau(6), \tau(7))(\tau(8), \tau(9))(\tau(10), \tau(11))(\tau(12), \tau(13))(\tau(14))(\tau(15)) \\
&= (1, 7, 4, 12)(8, 13, 15)(2, 10)(5, 9)(11, 14)(3)(6) \\
&= \sigma
\end{align} となり, \( \sigma \sim \sigma_0 \) であることが確認できます. ここで \(\sigma’ \in S_n\) のサイクルタイプが \(\sigma\) と等しい場合は, 同様にして \(\sigma’ \sim \sigma_0\) となるので, \(\sim\) が同値関係であることから \(\sigma \sim \sigma’\) が成り立ちます. 以上の議論により, 各 \(\sigma, \sigma’ \in S_n\) に対して,
\[
「\sigma \ と \ \sigma’ \ のサイクルタイプが等しい」\Longrightarrow \sigma \sim \sigma’
\] であるといえます.
逆に, \(\sigma_1, \sigma_2 \in S_n \) について \( \sigma_1 \sim \sigma_2 \) ならば \( \sigma_1 \) と \( \sigma_2 \) のサイクルタイプは等しいです。実際, \( \sigma_1 \sim \sigma_2 \) ならば, ある \( \tau \in S_n \) が存在して \( \sigma_1 = \tau \sigma_2 \tau^{-1} \) となりますが, \( \sigma_2 \) のサイクルタイプを \( [l_1, l_2, \cdots, l_s] \) とすると, \( \sigma_2 = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s \) （ただし \( \tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_s \) はそれぞれ長さが \( l_1, l_2, \cdots, l_s \) の巡回置換）と書くことができ,
\begin{align}
\sigma_1 &= \tau \sigma_2 \tau^{-1} \\
&= \tau \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_s \tau^{-1} \\
&= \tau \tau_1 \tau^{-1} \tau \tau_2 \tau^{-1} \tau \tau_3 \tau^{-1} \cdots \tau \tau_s \tau^{-1}
\end{align} であり, これと命題 2 より, \( \sigma_1 \) のサイクルタイプも \( [l_1, l_2, \cdots, l_s] \) となります. したがって, 各 \(\sigma, \sigma’ \in S_n\) に対して,
\[
\sigma \sim \sigma’ \Longrightarrow 「\sigma \ と \ \sigma’ \ のサイクルタイプは等しい」
\] が成り立ちます.
ここで, 各 \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) に対して, \(c\) のサイクルタイプを次のように定義します. \(c\) からひとつの元 \(\sigma\) をとってきたとき, \(c\) のサイクルタイプを \(\sigma\) のサイクルタイプであると定義します. 上で述べた議論により, この定義は well-defined です.
さらに, \(\mathbf{Par}(n)\) を自然数 \(n\) の分割全体の集合とします. 写像 \(f: \textrm{Conj} (S_n) \rightarrow \mathbf{Par}(n)\) を
\[
c \mapsto c \ のサイクルタイプ
\] で定義します. このとき, \(f\) は全単射です.
証明：まずは \(f\) の全射性ですが, 任意の \(\lambda \in \mathbf{Par}(n)\) を固定したとき, \(\lambda = [l_1, l_2, \cdots, l_s]\)（ただし \(l_s > 0\)）と書くことができます. 置換 \(\sigma \in S_n\) を次のようにして定めます. まず, \(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \cdots, \tau_s \in S_n\) を
\begin{align}
\tau_1 &= (1, \ 2, \cdots, \ l_1), \\
\tau_2 &= (l_1 + 1, \ l_1 + 2, \cdots, \ l_1 + l_2), \\
\tau_3 &= (l_1 + l_2 + 1, \ l_1 + l_2 + 2, \cdots, \ l_1 + l_2 + l_3), \\
&\vdots \\
\tau_s &= (l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + 1, \ l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + 2, \cdots, \ l_1 + l_2 + \cdots + l_{s-1} + l_s)
\end{align} で定義して,
\[
\sigma = \tau_1 \tau_2 \tau_3 \cdots \tau_s
\] と定めます. このとき, 各 \(i \in \{1, 2, 3, \cdots, s\}\) に対して, \(\tau_i\) は長さ \(l_i\) の巡回置換であり, \(i \neq j\) のとき \(\tau_i\) と \(\tau_j\) には共通部分がなく, \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) は \(n\) の分割なので \(l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_s > 0\) かつ \(l_1 + l_2 + \cdots + l_s = n\) となっています. ゆえに \(\sigma\) のサイクルタイプは \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) です. ここで, \(c \in \textrm{Conj}(S_n)\) を \(\sigma\) の属する共役類 \([\sigma]\) であると定めます. つまり, \(c = [\sigma]\) です. すると, \(c\) のサイクルタイプは \([l_1, l_2, \cdots, l_s]\) であるので, \(f(c) = \lambda\) です. 以上により, \(f\) は全射であることが示されました.
次に \(f\) は単射であることを示します. \(c_1, c_2 \in \textrm{Conj}(S_n)\) に対して \(f(c_1) = f(c_2)\) であるとします. \(\sigma_1 \in c_1, \ \sigma_2 \in c_2\) とすると, \(c_1 = [\sigma_1], c_2 = [\sigma_2]\) であり, \(\sigma_1\) のサイクルタイプは \(f(c_1)\) であり, \(\sigma_2\) のサイクルタイプは \(f(c_2)\) です. いま \(f(c_1) = f(c_2)\) なので, \(\sigma_1\) と \(\sigma_2\) のサイクルタイプは等しいです. よって \(\sigma_1 \sim \sigma_2\) であり, \([\sigma_1] = [\sigma_2]\) が成り立ちます. ゆえに \(c_1 = c_2\) です. したがって, \(f\) は単射です.
以上により, \(f\) は全単射であることが示されました.
従って, 次の定理が成り立つことがわかります.
定理：対称群 \(S_n\) の共役類は \( n \) の分割と一対一に対応する. したがって, 対称群 \(S_n\) の共役類の個数は \(p(n)\) と等しい.
置換の符号について
まずは対称群 \(S_n\) の互換というものを定義します.
定義：\(i, j \in \{1, 2, \cdots, n\} \) かつ \(i \neq j\) とする. \((i, j) \in S_n\) を, \(i\) と \(j\) を入れ換えて \( x \in \{1, 2, \cdots, n \} \backslash \{i, j \} \) を動かさない置換とする. （あるいは, 長さ 2 の巡回置換と見ても良い. ）これを \(i\) と \(j\) の互換という.
対称群 \(S_n\) の任意の元は互換の積で表すことができることが知られています.
定義：対称群 \(S_n\) において, 偶数個の互換の積で表すことができる置換を偶置換, 奇数個の互換の積で表すことができる置換を奇置換という. そして, \( \sigma \in S_n \) に対して, その符号 sgn を
\[
\textrm{sgn}(\sigma) =
\begin{cases}
1, & \sigma は偶置換 \\
-1, & \sigma は奇置換
\end{cases}
\] で定義する.
上の定義は well-defined であることが知られています.
参考文献
『有限群の表現，対称群の表現の基礎』本間 泰史
https://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/representation.pdf
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