分数の割り算はなぜひっくり返してかけるのか

皆さん、こんにちは。管理人です。今回は、分数の割り算の計算をするときはなぜ分子と分母を入れ替えてかけるのか、ということを述べていきます。

示したいこと

正の整数 \(a, b, c, d\) に対して,
\[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] が成り立つことを示したいと思います.

理由

示したい式の左辺を \(x\) とおきます. つまり,
\[
x = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}
\] とおきます. 割り算の意味を考えると,
\[
x \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b}
\] が成り立ちます. この式の両辺に \(\frac{d}{c}\) をかけると,
\[
\left( x \times \frac{c}{d} \right) \times \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] となります. ここで, この式の左辺に結合法則を適用すると,
\[
x \times \left( \frac{c}{d} \times \frac{d}{c} \right) = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] となります. ここで, \(\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1\) なので,
\[
x \times 1 = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] となります. したがって,
\[
x = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] つまり
\[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\] が成り立つわけです.