皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 桂 利行氏の著書『代数学Ⅲ 体とガロア理論』（東京大学出版会）の 6 ページ目にある間違いを指摘したいと思います.
本に書いてある議論
まずは, 本に書いてある議論を述べたいと思います.
定義 1.1.18 拡大 \(E/F\) において, \(E \ni \alpha_1, \cdots, \alpha_n\) とする. 部分体 \(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含むような \(E\) の最小の部分体を \(F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) と書き, \(F\) 上 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) で生成された部分体, または \(F\) に \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) を添加して得られる部分体という.
この定義は問題ないのですが, 次の「注意 1.1.19」に問題があります：
注意 1.1.19 \(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含む \(E\) の部分体全体を \(\{K_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\) とすれば
\[
F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}
\] となる. なぜならば, \(F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) も右辺の族に属する体の 1 つだから
\[
F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \supset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}
\] となる. また, 体 \(F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) の最小性から逆向きの包含関係を得る.
どこに問題があるかというと, 部分体 \(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含むような \(E\) の（包含関係における）最小の部分体の存在を示していないところに問題があります.
正しい議論
次に正しい（と私が考える）議論を述べたいと思います.
\(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含む \(E\) の部分体全体を \(\{K_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\) とします.
まず, 添字集合 \(\Lambda\) が空でないこと, すなわち条件を満たすような \(K_{\lambda}\) が最低でもひとつあることを示したいわけですが, これは \(E\) が条件を満たします. 実際, \(E\) は \(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含む \(E\) の部分体のひとつです. ゆえに \(\Lambda\) は空ではないです. また, 任意の \(\lambda \in \Lambda\) に対して \(K_{\lambda} \supset F \ni 0\) なので,
\[
\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \neq \varnothing
\] となります.
次に, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は体となることを示したいと思います.
(R1) 体 \(E\) の和の演算 \(+\) に関して \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は可換群となります. 実際, 任意に \(a, b \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) をとります. ここで任意の \(\lambda \in \Lambda\) をとります. すると \(a, b \in K_{\lambda}\) が成り立ちます. \(K_{\lambda}\) は \(E\) の部分体なので \(a + b \in K_{\lambda}\) となります. ゆえに \(a + b \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) となります. つまり \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は演算 \(+\) について閉じています. 結合法則は \(E\) において成り立つので, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \subset E\) に注意すると, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) でも成り立ちます. また \(0 \in F \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) なので \(0 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) であり, \(0\) が単位元となります. 次に逆元の存在を示すために任意に \(a \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) をとります. ここで任意の \(\lambda \in \Lambda\) をとります. すると \(a \in K_{\lambda}\) が成り立つので, そして \(K_{\lambda}\) は \(E\) の部分体なので, \(-a \in K_{\lambda}\) となります. よって \(-a \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) となります. 最後に交換法則についてですが, \(E\) で交換法則が成り立つので \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) でも交換法則が成り立ちます.
(R2) 体 \(E\) の積の演算 \(\cdot\) に関して \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は単位元を持つ可換半群になります. 実際, 任意に \(a, b \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) をとります. ここで任意の \(\lambda \in \Lambda\) をとります. すると \(a, b \in K_{\lambda}\) が成り立ちます. \(K_{\lambda}\) は \(E\) の部分体なので \(ab \in K_{\lambda}\) となります. ゆえに \(ab \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) となります. つまり \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は演算 \(\cdot\) について閉じています. 結合法則は \(E\) において成り立つので, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \subset E\) に注意すると, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) でも成り立ちます. 単位元については, \(1 \in F \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) なので, 単位元 \(1 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) が存在します. 交換法則については, \(E\) で（積について）交換法則が成り立つので, その部分集合である \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) においても交換法則が成り立ちます.
(R3) 上述の和と積について, \(E\) の中で分配法則が成り立つので, その部分集合である \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) の中でも分配法則が成り立ちます.
(R4) \(\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \right) \setminus \{0\}\) の任意の元に対して, 積に関する逆元が \(\left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \right) \setminus \{0\}\) の中に存在します. 実際, 任意に \(a \in \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \right) \setminus \{0\}\) をとります. すると \(a \neq 0\) かつ \(a \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) が成り立ちます. \(\forall \lambda \in \Lambda\) に対して, \(a \in K_\lambda\) が成り立ちます. これと \(a \neq 0\) より \(a \in K_{\lambda} \setminus \{0\}\) となります. \(K_{\lambda}\) は \(E\) の部分体なので \(a^{-1} \in K_{\lambda} \setminus \{0\}\) となります. したがって, \(a^{-1} \in \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda} \right) \setminus \{0\}\) が成り立ちます.
以上, (R1), (R2), (R3), (R4) により, \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) は体となります.
最後に \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}\) の最小性を示したいと思います. \(F\) と \(\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\}\) を含む \(E\) の部分体 \(K\) を任意にとります. \(\{K_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\) の定義により, \(\exists \mu \in \Lambda: K = K_{\mu}\) となります. したがって,
\[
K = K_{\mu} \supset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}
\] が成り立ちます. よって, 最小性が示されました.
余談：最小元は存在すれば一意的である
余談ですが, 順序集合 \((X, \leq)\) の中に最小元が存在するならば, それは一意的であることを示したいと思います. \(a \in X\) を \(X\) の最小元とします. \(b \in X\) も \(X\) の最小元とします. このとき, \(a\) は \(X\) の最小元なので, \(a \leq b\) が成り立ちます. また, \(b\) は \(X\) の最小元なので, \(b \leq a\) が成り立ちます. \(a \leq b\) かつ \(b \leq a\) より \(b = a\) となります. よって, \(X\) の中に最小元が存在するならば, それは一意的です.
したがって, 体の拡大 \(E / F\) と元 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in E\) が与えられたとき, 体 \(F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) は一意的に存在することになります.
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