数学

数学

【大学数学】同値関係、同値類、商集合

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院(修士課程)で数学を専攻した私が, 大学数学において出てくる概念である「同値関係」「同値類」「商集合」などの定義や性質について述べます. 同値関係 【定義】\(X\) を集合とする...
数学

【大学数学】有理整数環から有理数体を構成する方法

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院(修士課程)で数学を専攻した私が, 有理整数環 \(\mathbb{Z}\) を使って有理数体 \(\mathbb{Q}\) を定義する方法を述べたいと思います. 要するに, 整数...
数学

分数の割り算はなぜひっくり返してかけるのか

皆さん、こんにちは。管理人です。今回は、分数の割り算の計算をするときはなぜ分子と分母を入れ替えてかけるのか、ということを述べていきます。 示したいこと 正の整数 \(a, b, c, d\) に対して, \ が成り立つことを示したいと思いま...
数学

ユークリッド整域ならば単項イデアル整域であることの証明

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, ユークリッド整域と単項イデアル整域の定義を述べ, ユークリッド整域ならば単項イデアル整域であることを証明したいと思います. なお, 可換環や整域, イデアルなどの言葉はすでに知っているものとし...
数学

桂 利行『代数学Ⅲ 体とガロア理論』(東京大学出版会)という本にある間違い(元を添加して得られる部分体)

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 桂 利行氏の著書『代数学Ⅲ 体とガロア理論』(東京大学出版会)の 6 ページ目にある間違いを指摘したいと思います. 本に書いてある議論 まずは, 本に書いてある議論を述べたいと思います. 定義...
数学

多項式の除法の原理

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 多項式の除法の原理について述べたいと思います. 定理 \(R\) を整域, \(d(X) \in R\) をモニック多項式とする. 任意の \(R\) 上の多項式 \( f(X) \in R ...
数学

対称群の共役類と整数の分割について

この記事では, 対称群 \(S_n\) が与えられたとき, その共役類と \(n\) の分割が一対一対応することを示します. さらに「おまけ」のセクションでは, 対称群 \(S_n\) 共役類の符号の和 \(\sum_{c \in \tex...
数学

整数の分割

負でない整数 \(n\) が与えられたとき, \(n\) を正の整数の和で表すことを考えます. 例えば, 4 は 4 3 + 1 2 + 2 2 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 というふうに表すことができますが, これらを 4 ...
数学

三角関数の無限積を用いたグレゴリー・ライプニッツ級数の計算

これは数学に余裕のある人向けの記事である. 厳密性に欠ける部分もあるが,バーゼル問題のオイラーの解法をもじったものであり, アイデア的には面白いと思う. ここで示したいのは次の級数である: \ 【証明】\( \sin \left( \fra...