分割 L 関数

この記事では, 分割 \(L\) 関数を導入する.

定義

\(n\) を正の整数として, 対称群 \(S_n\) を考える. \(c\) を \(S_n\) の共役類とするとき, \(c\) の符号というものを定義することができる.

【定義 1】\(n\) を正の整数とし, \(\lambda\) を \(n\) の分割とする. \(\lambda\) の符号を, \(\lambda\) と対応する \(S_n\) の共役類 \(c\) の符号で定義する. \(\lambda\) の符号を \(\textrm{sgn}(\lambda)\) と書く.

【例 1】\(n=4\) とする.
4 の分割 \([4]\) は \((1, 2, 3, 4) \in S_4\) が属する共役類と対応する. したがって, \(\textrm{sgn}([4]) = \textrm{sgn}(1, 2, 3, 4) = -1\). また, 4 の分割 \([3, 1]\) は \((1, 2, 3)(4) \in S_4\) が属する共役類と対応する. したがって, \(\textrm{sgn}([3, 1]) = \textrm{sgn}((1, 2, 3)(4)) = 1\).

【定義 2】\(n\) を正の整数とし, \(s > 0\) とする. 分割 \(L\) 関数を次で定める.
\[
L_{\textrm{Par}}(n, s) := \sum_{\lambda \ \vdash \ n} \textrm{sgn}(\lambda) f(\lambda)^s.
\] ここで, \(\lambda\) は \(n\) の分割すべてを走り, \(f(\lambda)\) は \(\lambda\) に現れる 1 の個数である.

【例 2】
\begin{align}
L_{\textrm{Par}}(4, s) &= -f([4])^s + f([3, 1])^s +f([2, 2])^s-f([2, 1, 1])^s + f([1, 1, 1, 1])^s \\
&= – \ 0^s + 1^s + 0^s-2^s+4^s \\
&= 1-2^s+4^s.
\end{align}

【例 3】
\begin{align}
L_{\textrm{Par}}(5, s) &= f([5])^s-f([4, 1])^s-f([3, 2])^s + f([3, 1, 1])^s + f([2, 2, 1])^s-f([2, 1, 1, 1])^s + f([1, 1, 1, 1, 1])^s \\
&= 0^s-1^s-0^s+2^s+1^s-3^s+5^s \\
&= 2^s-3^s+5^s.
\end{align}

定理

【定理】\(m\) と \(n\) を正の整数とする. このとき, 次が成り立つ.
\[
L_{\textrm{Par}}(n, m) = \sum_{k = 0}^{n-1} p_{\textrm{sc}}(n-k-1) \{(k+1)^m-k^m\}.
\] ここで \(p_{\textrm{sc}}(l)\) は \(l\) の自己共役な分割の個数とする.

証明

【証明】記事『ある種の分割ゼータ関数』と同様の方法で証明することができる. \(n\) に関する数学的帰納法で証明する. \(n = 1\) のとき, 与式が成り立つことは自明である. \(n = N\) のとき与式が成り立つと仮定する. すなわち, 任意の正の整数 \(a\) に対して
\[
L_{\textrm{Par}}(N, a) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_{\textrm{sc}}(N-k-1) \{(k+1)^a-k^a\}
\] が成り立つと仮定する. 記事『対称群の共役類の符号の和』より,
\[
\sum_{\lambda \ \vdash N} \textrm{sgn}(\lambda) = p_{\textrm{sc}}(N).
\] したがって, \(n = N+1\) のとき,
\begin{align}
L_{\textrm{Par}}(N+1, m) &= \sum_{\lambda \ \vdash N+1} \textrm{sgn}(\lambda) f(\lambda)^m \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} \textrm{sgn}(\lambda) \{f(\lambda) + 1\}^m \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} \textrm{sgn}(\lambda) \left\{1 + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} f(\lambda)^a \right\} \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} \textrm{sgn}(\lambda) + \sum_{\lambda \ \vdash N} \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \textrm{sgn}(\lambda) f(\lambda)^a \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \sum_{\lambda \ \vdash N} \textrm{sgn}(\lambda) f(\lambda)^a \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} L_{\textrm{Par}}(N, a) \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \sum_{k = 0}^{N-1} p_{\textrm{sc}}(N-k-1) \{(k+1)^a-k^a\} \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{k = 0}^{N-1} p_{\textrm{sc}}(N-k-1) \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \{(k+1)^a-k^a\} \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{k = 0}^{N-1} p_{\textrm{sc}}(N-k-1) \{\{(k+1)+1\}^m-(k+1)^m\} \\
&= p_{\textrm{sc}}(N) + \sum_{l = 1}^N p_{\textrm{sc}}(N-l) \{(l+1)^m-l^m\} \\
&= \sum_{l = 0}^N p_{\textrm{sc}}(N-l) \{(l+1)^m-l^m\}.
\end{align} 以上により題意は示された.