ある種の分割ゼータ関数

この記事ではある種の分割ゼータ関数を導入します.

定義

【定義】\(n\) を正の整数とし, \(s > 0\) とする. 分割ゼータ関数を次で定義する.
\[
\zeta_{\textrm{Par}}(n, s) := \sum_{\lambda \ \vdash \ n} f(\lambda)^s.
\] ここで \(\lambda\) は \(n\) の分割すべてを走り, \(f(\lambda)\) は \(\lambda\) に含まれる \(1\) の個数とする.

【例 1】
\begin{align}
\zeta_{\textrm{Par}}(4, s) &= f([4])^s + f([3, 1])^s + f([2, 2])^s + f([2, 1, 1])^s + f([1, 1, 1, 1])^s \\
&= 0^s + 1^s + 0^s + 2^s + 4^s \\
&= 1 + 2^s + 4^s.
\end{align}

【例 2】
\begin{align}
\zeta_{\textrm{Par}}(5, s) &= f([5])^s + f([4, 1])^s + f([3, 2])^s + f([3, 1, 1])^s + f([2, 2, 1])^s + f([2, 1, 1, 1])^s + f([1, 1, 1, 1, 1])^s \\
&= 0^s + 1^s + 0^s + 2^s + 1^s + 3^s + 5^s \\
&= 2 + 2^s + 3^s + 5^s.
\end{align}

定理

【定理】\(m\) と \(n\) を正の整数とする. このとき, 次の式が成り立つ.
\[
\zeta_{\textrm{Par}}(n, m) = \sum_{k = 0}^{n-1} p(n-k-1) \{(k+1)^m-k^m\}.
\]

証明

【証明】\(n\) に関する数学的帰納法で証明する. \(n = 1\) のとき, 任意の正の整数 \(m\) に対して定理が成り立つことは明らかである. \(n = N\) のとき定理が成り立つと仮定する, すなわち, 任意の正の整数 \(a\) に対して
\[
\zeta_{\textrm{Par}}(N, a) = \sum_{k = 0}^{N-1} p(N-k-1)\{(k+1)^a-k^a\},
\] が成り立つと仮定する. \(n = N+1\) のとき, 任意の正の整数 \(m\) に対して,
\begin{align}
\zeta_{\textrm{Par}}(N+1, m) &= \sum_{\lambda \ \vdash N+1} f(\lambda)^m \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} \{f(\lambda) + 1\}^m \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} \left\{1 + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} f(\lambda)^a \right\} \\
&= \sum_{\lambda \ \vdash N} 1 + \sum_{\lambda \ \vdash N} \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} f(\lambda)^a \\
&= p(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \sum_{\lambda \ \vdash N} f(\lambda)^a \\
&= p(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \zeta_{\textrm{Par}}(N, a) \\
&= p(N) + \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \sum_{k = 0}^{N-1} p(N-k-1) \{(k+1)^a-k^a\} \\
&= p(N) + \sum_{k = 0}^{N-1} p(N-k-1) \sum_{a=1}^m \binom{m}{a} \{(k+1)^a-k^a\} \\
&= p(N) + \sum_{k = 0}^{N-1} p(N-k-1) \{\{(k+1)+1\}^m-(k+1)^m\} \\
&= p(N) + \sum_{l = 1}^N p(N-l) \{(l+1)^m-l^m\} \\
&= \sum_{l = 0}^N p(N-l) \{(l+1)^m-l^m\}.
\end{align} 以上により題意は示された.