【大学数学】有理整数環から有理数体を構成する方法

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院（修士課程）で数学を専攻した私が, 有理整数環 $\mathbb{Z}$ を使って有理数体 $\mathbb{Q}$ を定義する方法を述べたいと思います. 要するに, 整数を使って有理数を定義しようというわけです. わりと丁寧かつ厳密に述べたつもりです.

なお, 直積集合, 同値関係, 環, 体などの用語（の定義や性質）についてはすでに知っているものとして話を進めます.

とある直積集合上の同値関係

まずは次のような集合 $A$ を考えます.
$$A:=\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}.$$ ここで, 集合 $A$ 上の二項関係 $\sim$ を次のように定めます. $(a,b),(c,d)\in A$ に対して,
$$(a,b)\sim (c,d)⟺ad=bc.$$ 例えば, $2\times 3=1\times 6$ なので $(2,1)\sim (6,3)$ ですし, $5\times 4\ne 3\times 6$ なので $(5,3)\nsim (6,4)$ です.

【命題】集合 $A$ 上の二項関係 $\sim$ は $A$ 上の同値関係である.

【証明】
反射律: 任意の $(a,b)\in A$ に対して, $ab=ba$ より $(a,b)\sim (a,b).$

対称律: $(a,b)\in A,(c,d)\in A,(a,b)\sim (c,d)$ とする. このとき $ad=bc$ なので $cb=da$ が成り立つ. ゆえに $(c,d)\sim (a,b)$ である.

推移律: $(a,b),(c,d),(e,f)\in A$ とする. $(a,b)\sim (c,d)$ かつ $(c,d)\sim (e,f)$ が成り立つとすると, $ad=bc$ かつ $cf=de$ であり,
$$afd=adf=bcf=bde=bed$$ が成り立つ. ゆえに $(af-be)d=0$ である. $\mathbb{Z}$ は整域なので $af-be=0$ または $d=0$ であるが, $(c,d)\in A$ より $d\ne 0$ であるから $af-be=0$ が成り立つ. したがって $af=be$ より $(a,b)\sim (e,f)$ が成り立つ.

以上より, $\sim$ は $A$ 上の同値関係である.（証明終了）

商集合の上に加法と乗法を定める

さて, 集合 $A$ 上の二項関係 $\sim$ は同値関係であることがわかりましたので, 商集合
$$A/\sim =\{[(a,b)]\mid (a,b)\in A\}$$ を考えることができます. ここで $(a,b)\in A$ に対して $\frac{a}{b}$ を次のように定めます.
$$\frac{a}{b}:=[(a,b)].$$ ここで $\mathbb{Q}=A/\sim$ と定義します. 集合 $\mathbb{Q}$ 上に次のように加法 $+$ と乗法 $\times$ を定めます. $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}$ に対して,
$$\begin{array}{r}\text{(1)}& \frac{a}{b}+\frac{c}{d}& :=\frac{ad+bc}{bd}\\ \text{(2)}& \frac{a}{b}\times \frac{c}{d}& :=\frac{ac}{bd}\end{array}$$ なお, この定義において $b,d\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ であるので $bd\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ であることに注意しましょう.

次に, この定義が well-defined であることを証明します.

【証明】まずは加法が well-defined であることを示す. $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}$ とする. さて, $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ かつ $\frac{c}{d}=\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}$ であるとする. このとき, $[(a,b)]=[(a^{\prime },b^{\prime })]$ かつ $[(c,d)]=[(c^{\prime },d^{\prime })]$ が成り立つので, $(a,b)\sim (a^{\prime },b^{\prime })$ かつ $(c,d)\sim (c^{\prime },d^{\prime })$ である. ゆえに, $a{b}^{\prime }=b{a}^{\prime }$ かつ $c{d}^{\prime }=d{c}^{\prime }$ が成り立つ. ここで,
$$\begin{array}{rl}(ad+bc)b^{\prime }{d}^{\prime }& =ad{b}^{\prime }{d}^{\prime }+bc{b}^{\prime }{d}^{\prime }\\ & =a{b}^{\prime }\cdot d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }\cdot c{d}^{\prime }\\ & =b{a}^{\prime }\cdot d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }\cdot d{c}^{\prime }\\ & =bd{a}^{\prime }{d}^{\prime }+bd{b}^{\prime }{c}^{\prime }\\ & =bd(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime })\end{array}$$ であるので, $(ad+bc,bd)\sim (a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })$ が成り立つ. よって $[(ad+bc,bd)]=[(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })]$ すなわち
$$\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime }}{b^{\prime }{d}^{\prime }}$$ が成り立つ. したがって, 上で定めた加法 $+$ は well-defined である.

次に乗法が well-defined であることを示す. $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}$ とする. さて, $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ かつ $\frac{c}{d}=\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}$ であるとする. このとき, 先ほどと同様にして $a{b}^{\prime }=b{a}^{\prime }$ かつ $c{d}^{\prime }=d{c}^{\prime }$ が成り立つ. ここで,
$$ac\cdot b^{\prime }{d}^{\prime }=a{b}^{\prime }\cdot c{d}^{\prime }=b{a}^{\prime }\cdot d{c}^{\prime }=bd\cdot a^{\prime }{c}^{\prime }$$ であるので, $(ac,bd)\sim (a^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })$ が成り立つ. よって $[(ac,bd)]=[(a^{\prime }{c}^{\prime },b^{\prime }{d}^{\prime })]$ すなわち
$$\frac{ac}{bd}=\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }}{b^{\prime }{d}^{\prime }}$$ が成り立つ. ゆえに, 上で定めた乗法 $\times$ は well-defined である.（証明終了）

商集合 $\mathbb{Q}$ は体となる

まずは次のいくつかの補題を示します.

【補題 1】任意の $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ および任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ に対して,
$$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$ が成り立つ.

【補題 1 の証明】任意の $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ および任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ をとる. このとき, $a\cdot bc=b\cdot ac$ であるから, $(a,b)\sim (ac,bc)$ である. したがって $[(a,b)]=[(ac,bc)]$ すなわち
$$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$$ が成り立つ.（証明終了）

【補題 2】任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ に対して,
$$\frac{0}{1}=\frac{0}{c}.$$

【補題 2 の証明】任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ をとる. 補題 1 を用いると,
$$\frac{0}{1}=\frac{0\cdot c}{1\cdot c}=\frac{0}{c}.$$ （証明終了）

【補題 3】任意の $a,b\in \mathbb{Z}$ および任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ に対して,
$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$$ が成り立つ.

【補題 3 の証明】任意の $a,b\in \mathbb{Z}$ および任意の $c\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ に対して,
$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{ac+cb}{cc}=\frac{(a+b)c}{cc}=\frac{a+b}{c}$$ である. なお, 3 番目の等号では補題 1 を用いた. （証明終了）

【定理】(1) と (2) で定めた加法と乗法により $\mathbb{Q}$ は体となる.

【証明】
(R1) 加法 $+$ に関して $\mathbb{Q}$ は可換群となる. 実際, 任意の $x,y,z\in \mathbb{Q}$ に対して $(a,b),(c,d),(e,f)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d},z=\frac{e}{f}$ と書くことができて,
$$\begin{array}{rl}(x+y)+z& =(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{e}{f}\\ & =\frac{ad+bc}{bd}+\frac{e}{f}\\ & =\frac{(ad+bc)f+bde}{bdf}\\ & =\frac{adf+bcf+bde}{bdf},\\ \\ x+(y+z)& =\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f})\\ & =\frac{a}{b}+\frac{cf+de}{df}\\ & =\frac{adf+b(cf+de)}{bdf}\\ & =\frac{adf+bcf+bde}{bdf}\end{array}$$ より $(x+y)+z=x+(y+z)$ が成り立つ. よって, $+$ について結合法則が成り立つ. また, $\mathbb{Q}$ において $0_{\mathbb{Q}}:=\frac{0}{1}\in \mathbb{Q}$ が加法に関する単位元となる. 実際, 任意の $x\in \mathbb{Q}$ に対して $(a,b)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ と書くことができて,
$$\begin{array}{r}x+0_{\mathbb{Q}}=\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a\cdot 1+b\cdot 0}{b\cdot 1}=\frac{a}{b}=x,\\ 0_{\mathbb{Q}}+x=\frac{0}{1}+\frac{a}{b}=\frac{0\cdot b+1\cdot a}{1\cdot b}=\frac{a}{b}=x\end{array}$$ となる. また, 任意の $x\in \mathbb{Q}$ をとると, ある $(a,b)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ となるわけであるが, $-x=\frac{-a}{b}$ と定めると,
$$\begin{array}{r}x+(-x)=\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{a+(-a)}{b}=\frac{0}{b}=\frac{0}{1}=0_{\mathbb{Q}},\\ (-x)+x=\frac{-a}{b}+\frac{a}{b}=\frac{(-a)+a}{b}=\frac{0}{b}=\frac{0}{1}=0_{\mathbb{Q}}\end{array}$$ が成り立つ. ゆえに, 任意の $x\in \mathbb{Q}$ に逆元が存在することが示された. 以上により, 加法 $+$ に関して $\mathbb{Q}$ は群となることが示された. 最後に交換法則が成り立つことを示せばよい. 任意の $x,y\in \mathbb{Q}$ に対して, $(a,b),(c,d)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ および $y=\frac{c}{d}$ と書くことができて,
$$x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}=\frac{cb+da}{db}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}=y+x$$ が成り立つ. 以上により, 加法 $+$ に関して $\mathbb{Q}$ は可換群となることが示された.

(R2) 次に, 乗法 $\times$ に関して $\mathbb{Q}$ は単位元を持つ可換半群となることを示す. まずは $\times$ に関する結合法則であるが, 任意の $x,y,z\in \mathbb{Q}$ に対して, $(a,b),(c,d),(e,f)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ かつ $y=\frac{c}{d}$ かつ $z=\frac{e}{f}$ と書くことができて,
$$\begin{array}{rl}(x\times y)\times z& =(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d})\times \frac{e}{f}\\ & =\frac{ac}{bd}\times \frac{e}{f}\\ & =\frac{(ac)e}{(bd)f}\\ & =\frac{a(ce)}{b(df)}\\ & =\frac{a}{b}\times \frac{ce}{df}\\ & =\frac{a}{b}\times (\frac{c}{d}\times \frac{e}{f})\\ & =x\times (y\times z)\end{array}$$ より成り立つ. 次に $\times$ に関する単位元の存在であるが, $1_{\mathbb{Q}}:=\frac{1}{1}$ が単位元となる. 実際, 任意の $x\in \mathbb{Q}$ に対して $x=\frac{a}{b}$ と書くことができて,
$$\begin{array}{r}x\times 1_{\mathbb{Q}}=\frac{a}{b}\times \frac{1}{1}=\frac{a\cdot 1}{b\cdot 1}=\frac{a}{b}=x,\\ 1_{\mathbb{Q}}\times x=\frac{1}{1}\times \frac{a}{b}=\frac{1\cdot a}{1\cdot b}=\frac{a}{b}=x\end{array}$$ となる. 次に交換法則であるが, 任意の $x,y\in \mathbb{Q}$ に対して $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}$ と書くことができて,
$$x\times y=\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=\frac{ca}{db}=\frac{c}{d}\times \frac{a}{b}=y\times x$$ となる. よって, $\mathbb{Q}$ は $\times$ に関して単位元を持つ可換半群となることが示された.

(R3) 次に, $\mathbb{Q}$ において分配法則が成り立つことを示す. 任意の $x,y,z\in \mathbb{Q}$ に対して, $(a,b),(c,d),(e,f)\in A$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ かつ $y=\frac{c}{d}$ かつ $z=\frac{e}{f}$ と書くことができて,
$$\begin{array}{rl}x\times (y+z)& =\frac{a}{b}\times (\frac{c}{d}+\frac{e}{f})\\ & =\frac{a}{b}\times \frac{cf+de}{df}\\ & =\frac{a\cdot (cf+de)}{bdf}\\ & =\frac{acf+ade}{bdf}\\ & =\frac{acf}{bdf}+\frac{aed}{bfd}\\ & =\frac{ac}{bd}+\frac{ae}{bf}\\ & =\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\times \frac{e}{f}\\ & =x\times y+x\times z\end{array}$$ より左分配法則が成り立つ. 右分配法則については, 任意の $x,y,z\in \mathbb{Q}$ に対して, 上で示した $\times$ についての交換法則および左分配法則を使うと,
$$(x+y)\times z=z\times (x+y)=z\times x+z\times y=x\times z+y\times z$$ となるので成り立つ.

(R4) 最後に, $\mathbb{Q}\setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}$ の任意の元に対して, 乗法 $\times$ に関する逆元が存在することを示す. 任意の $x\in \mathbb{Q}\setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}$ をとる. このとき, $x\in \mathbb{Q}$ より, $a\in \mathbb{Z}$ と $b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ が存在して $x=\frac{a}{b}$ と書くことができる. ここで $a=0$ と仮定すると,
$$x=\frac{0}{b}=\frac{0}{1}=0_{\mathbb{Q}}$$ となるが, これは $x\in \mathbb{Q}\setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}$ であることに反する. ゆえに $a\ne 0$ であり, $a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ である. したがって, $(b,a)\in A$ であり, $\frac{b}{a}\in \mathbb{Q}$ となる. $y=\frac{b}{a}$ とおくと, $y\in \mathbb{Q}$ であり,
$$\begin{array}{rl}x\times y& =\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}=\frac{1ab}{1ab}=\frac{1}{1}=1_{\mathbb{Q}},\\ y\times x& =x\times y=1_{\mathbb{Q}}\end{array}$$ となる.（なお, $y=0_{\mathbb{Q}}$ であると仮定すると, $\frac{b}{a}=\frac{0}{1}$ であり, $[(b,a)]=[(0,1)]$ より $(b,a)\sim (0,1)⟺b\cdot 1=a\cdot 0⟺b=0$ となるが, これは $b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ であることに反する. よって $y\ne 0_{\mathbb{Q}}$ であり, $y\in \mathbb{Q}\setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}$ となる. ）

以上, (R1), (R2), (R3), (R4) より, $\mathbb{Q}$ は体となることが示された.（証明終了）

有理整数環 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ の部分環とみなすことができる

【命題】有理整数環 $\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Q}$ への環準同型写像であって, 単射であるものが存在する.

【証明】写像 $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ を
$$\phi (n)=\frac{n}{1}$$ で定義する.

まず, $\phi$ が環準同型写像であることを示す. 任意の $a,b\in \mathbb{Z}$ に対して, 補題 3 を次の式変形の途中で用いると,
$$\phi (a+b)=\frac{a+b}{1}=\frac{a}{1}+\frac{b}{1}=\phi (a)+\phi (b)$$ となる. また, 任意の $a,b\in \mathbb{Z}$ に対して,
$$\phi (ab)=\frac{ab}{1}=\frac{ab}{1\cdot 1}=\frac{a}{1}\times \frac{b}{1}=\phi (a)\times \phi (b)$$ が成り立つ. また,
$$\phi (1)=\frac{1}{1}=1_{\mathbb{Q}}$$ となる. よって, $\phi$ は環準同型写像である.

最後に, $\phi$ が単射であることを示せば証明が終わる. そのためには, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =\{0\}$ を示せば良い. $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \supset \{0\}$ は明らか. $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \subset \{0\}$ を示すために, 任意の $a\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ をとる. $\phi (a)=0_{\mathbb{Q}}$ より $\frac{a}{1}=\frac{0}{1}$ が成り立つ. よって $[(a,1)]=[(0,1)]$ である. ゆえに $(a,1)\sim (0,1)$ である. したがって, $a\cdot 1=1\cdot 0$ である. ゆえに, $a=0\in \{0\}$ となる. よって, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \subset \{0\}$ が成り立つ. したがって $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =\{0\}$ である.（証明終了）