【大学数学】有理整数環から有理数体を構成する方法

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院（修士課程）で数学を専攻した私が, 有理整数環 \(\mathbb{Z}\) を使って有理数体 \(\mathbb{Q}\) を定義する方法を述べたいと思います. 要するに, 整数を使って有理数を定義しようというわけです. わりと丁寧かつ厳密に述べたつもりです.

なお, 直積集合, 同値関係, 環, 体などの用語（の定義や性質）についてはすでに知っているものとして話を進めます.

とある直積集合上の同値関係

まずは次のような集合 \(A\) を考えます.
\[
A := \mathbb{Z} \times \left( \mathbb{Z} \setminus \{0\} \right) = \{(a, b) \mid a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0 \}.
\] ここで, 集合 \(A\) 上の二項関係 \(\sim\) を次のように定めます. \((a, b), (c, d) \in A\) に対して,
\[
(a, b) \sim (c, d) \Longleftrightarrow ad = bc.
\] 例えば, \(2 \times 3 = 1 \times 6\) なので \((2, 1) \sim (6, 3)\) ですし, \(5 \times 4 \neq 3 \times 6\) なので \((5, 3) \nsim (6, 4)\) です.

【命題】集合 \(A\) 上の二項関係 \(\sim\) は \(A\) 上の同値関係である.

【証明】
反射律: 任意の \((a, b) \in A\) に対して, \(ab = ba\) より \((a, b) \sim (a, b). \)

対称律: \((a, b) \in A, \ (c, d) \in A, \ (a, b) \sim (c, d)\) とする. このとき \(ad = bc\) なので \(cb = da\) が成り立つ. ゆえに \((c, d) \sim (a, b)\) である.

推移律: \((a, b), (c, d), (e, f) \in A\) とする. \((a, b) \sim (c, d)\) かつ \((c, d) \sim (e, f)\) が成り立つとすると, \(ad = bc\) かつ \(cf = de\) であり,
\[
afd = adf = bcf = bde = bed
\] が成り立つ. ゆえに \((af-be)d = 0\) である. \(\mathbb{Z}\) は整域なので \(af-be = 0\) または \(d = 0\) であるが, \((c, d) \in A\) より \(d \neq 0\) であるから \(af-be = 0\) が成り立つ. したがって \(af = be\) より \((a, b) \sim (e, f)\) が成り立つ.

以上より, \(\sim\) は \(A\) 上の同値関係である.（証明終了）

商集合の上に加法と乗法を定める

さて, 集合 \(A\) 上の二項関係 \(\sim\) は同値関係であることがわかりましたので, 商集合
\[
A /{\sim} = \{[(a, b)] \mid (a, b) \in A \}
\] を考えることができます. ここで \((a, b) \in A\) に対して \(\frac{a}{b}\) を次のように定めます.
\[
\frac{a}{b} := [(a, b)].
\] ここで \(\mathbb{Q} = A /{\sim}\) と定義します. 集合 \(\mathbb{Q}\) 上に次のように加法 \(+\) と乗法 \(\times\) を定めます. \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}\) に対して,
\begin{align}
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &:= \frac{ad + bc}{bd} \tag{1} \\
\\
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} &:= \frac{ac}{bd} \tag{2}
\end{align} なお, この定義において \(b, d \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) であるので \(bd \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) であることに注意しましょう.

次に, この定義が well-defined であることを証明します.

【証明】まずは加法が well-defined であることを示す. \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}\) とする. さて, \(\frac{a}{b} = \frac{a’}{b’}\) かつ \(\frac{c}{d} = \frac{c’}{d’}\) であるとする. このとき, \([(a, b)] = [(a’, b’)]\) かつ \([(c, d)] = [(c’, d’)]\) が成り立つので, \((a, b) \sim (a’, b’)\) かつ \((c, d) \sim (c’, d’)\) である. ゆえに, \(ab’ = ba’\) かつ \(cd’ = dc’\) が成り立つ. ここで,
\begin{align}
(a d + b c) b’ d’ &= a d b’ d’ + b c b’ d’ \\
&= a b’ \cdot d d’ + b b’ \cdot c d’ \\
&= ba’ \cdot dd’ + bb’ \cdot dc’ \\
&= bda’d’ + bdb’c’ \\
&= bd(a’d’ + b’c’)
\end{align} であるので, \((ad + bc, bd) \sim (a’d’ + b’c’, b’d’)\) が成り立つ. よって \([(ad + bc, bd)] = [(a’d’ + b’c’, b’d’)]\) すなわち
\[
\frac{ad + bc}{bd} = \frac{a’d’ + b’c’}{b’d’}
\] が成り立つ. したがって, 上で定めた加法 \(+\) は well-defined である.

次に乗法が well-defined であることを示す. \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}\) とする. さて, \(\frac{a}{b} = \frac{a’}{b’}\) かつ \(\frac{c}{d} = \frac{c’}{d’}\) であるとする. このとき, 先ほどと同様にして \(ab’ = ba’\) かつ \(cd’ = dc’\) が成り立つ. ここで,
\[
ac \cdot b’d’ = ab’ \cdot cd’ = ba’ \cdot dc’ = bd \cdot a’c’
\] であるので, \((ac, bd) \sim (a’c’, b’d’)\) が成り立つ. よって \([(ac, bd)] = [(a’c’, b’d’)]\) すなわち
\[
\frac{ac}{bd} = \frac{a’c’}{b’d’}
\] が成り立つ. ゆえに, 上で定めた乗法 \(\times\) は well-defined である.（証明終了）

商集合 \(\mathbb{Q}\) は体となる

まずは次のいくつかの補題を示します.

【補題 1】任意の \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\) および任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) に対して,
\[
\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}
\] が成り立つ.

【補題 1 の証明】任意の \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\) および任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) をとる. このとき, \(a \cdot bc = b \cdot ac\) であるから, \((a, b) \sim (ac, bc)\) である. したがって \([(a, b)] = [(ac, bc)]\) すなわち
\[
\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}
\] が成り立つ.（証明終了）

【補題 2】任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) に対して,
\[
\frac{0}{1} = \frac{0}{c}.
\]

【補題 2 の証明】任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) をとる. 補題 1 を用いると,
\[
\frac{0}{1} = \frac{0 \cdot c}{1 \cdot c} = \frac{0}{c}.
\] （証明終了）

【補題 3】任意の \(a, b \in \mathbb{Z}\) および任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) に対して,
\[
\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}
\] が成り立つ.

【補題 3 の証明】任意の \(a, b \in \mathbb{Z}\) および任意の \(c \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) に対して,
\[
\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{ac + cb}{cc} = \frac{(a + b)c}{cc} = \frac{a + b}{c}
\] である. なお, 3 番目の等号では補題 1 を用いた. （証明終了）

【定理】(1) と (2) で定めた加法と乗法により \(\mathbb{Q}\) は体となる.

【証明】
(R1) 加法 \(+\) に関して \(\mathbb{Q}\) は可換群となる. 実際, 任意の \(x, y, z \in \mathbb{Q}\) に対して \((a, b), (c, d), (e, f) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}, \ y = \frac{c}{d}, \ z = \frac{e}{f}\) と書くことができて,
\begin{align}
(x + y) + z &= \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) + \frac{e}{f} \\
&= \frac{ad + bc}{bd} + \frac{e}{f} \\
&= \frac{(ad + bc)f + bde}{bdf} \\
&= \frac{adf + bcf + bde}{bdf}, \\
\\
x + (y + z) &= \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f} \right) \\
&= \frac{a}{b} + \frac{cf + de}{df} \\
&= \frac{adf + b(cf + de)}{bdf} \\
&= \frac{adf + bcf + bde}{bdf}
\end{align} より \((x + y) + z = x + (y + z)\) が成り立つ. よって, \(+\) について結合法則が成り立つ. また, \(\mathbb{Q}\) において \(0_{\mathbb{Q}} := \frac{0}{1} \in \mathbb{Q}\) が加法に関する単位元となる. 実際, 任意の \(x \in \mathbb{Q}\) に対して \((a, b) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) と書くことができて,
\begin{align}
x + 0_{\mathbb{Q}} = \frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a \cdot 1 + b \cdot 0}{b \cdot 1} = \frac{a}{b} = x, \\
0_{\mathbb{Q}} + x = \frac{0}{1} + \frac{a}{b} = \frac{0 \cdot b + 1 \cdot a}{1 \cdot b} = \frac{a}{b} = x \
\end{align} となる. また, 任意の \(x \in \mathbb{Q}\) をとると, ある \((a, b) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) となるわけであるが, \(-x = \frac{-a}{b}\) と定めると,
\begin{align}
x + (-x) = \frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{a + (-a)}{b} = \frac{0}{b} = \frac{0}{1} = 0_{\mathbb{Q}}, \\
(-x) + x = \frac{-a}{b} + \frac{a}{b} = \frac{(-a) + a}{b} = \frac{0}{b} = \frac{0}{1} = 0_{\mathbb{Q}} \
\end{align} が成り立つ. ゆえに, 任意の \(x \in \mathbb{Q}\) に逆元が存在することが示された. 以上により, 加法 \(+\) に関して \(\mathbb{Q}\) は群となることが示された. 最後に交換法則が成り立つことを示せばよい. 任意の \(x, y \in \mathbb{Q}\) に対して, \((a, b), (c, d) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) および \(y = \frac{c}{d}\) と書くことができて,
\[
x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} = \frac{cb + da}{db} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} = y + x
\] が成り立つ. 以上により, 加法 \(+\) に関して \(\mathbb{Q}\) は可換群となることが示された.

(R2) 次に, 乗法 \(\times\) に関して \(\mathbb{Q}\) は単位元を持つ可換半群となることを示す. まずは \(\times\) に関する結合法則であるが, 任意の \(x, y, z \in \mathbb{Q}\) に対して, \((a, b), (c, d), (e, f) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) かつ \(y = \frac{c}{d}\) かつ \(z = \frac{e}{f}\) と書くことができて,
\begin{align}
(x \times y) \times z &= \left( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \right) \times \frac{e}{f} \\
&= \frac{ac}{bd} \times \frac{e}{f} \\
&= \frac{(ac)e}{(bd)f} \\
&= \frac{a(ce)}{b(df)} \\
&= \frac{a}{b} \times \frac{ce}{df} \\
&= \frac{a}{b} \times \left( \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \right) \\
&= x \times (y \times z)
\end{align} より成り立つ. 次に \(\times\) に関する単位元の存在であるが, \(1_{\mathbb{Q}} := \frac{1}{1}\) が単位元となる. 実際, 任意の \(x \in \mathbb{Q}\) に対して \(x = \frac{a}{b}\) と書くことができて,
\begin{align}
x \times 1_{\mathbb{Q}} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{1} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b} = x, \\
1_{\mathbb{Q}} \times x = \frac{1}{1} \times \frac{a}{b} = \frac{1 \cdot a}{1 \cdot b} = \frac{a}{b} = x \
\end{align} となる. 次に交換法則であるが, 任意の \(x, y \in \mathbb{Q}\) に対して \(x = \frac{a}{b}, y = \frac{c}{d}\) と書くことができて,
\[
x \times y = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} = \frac{ca}{db} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b} = y \times x
\] となる. よって, \(\mathbb{Q}\) は \(\times\) に関して単位元を持つ可換半群となることが示された.

(R3) 次に, \(\mathbb{Q}\) において分配法則が成り立つことを示す. 任意の \(x, y, z \in \mathbb{Q}\) に対して, \((a, b), (c, d), (e, f) \in A\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) かつ \(y = \frac{c}{d}\) かつ \(z = \frac{e}{f}\) と書くことができて,
\begin{align}
x \times (y + z) &= \frac{a}{b} \times \left( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} \right) \\
&= \frac{a}{b} \times \frac{cf + de}{df} \\
&= \frac{a \cdot (cf + de)}{bdf} \\
&= \frac{acf + ade}{bdf} \\
&= \frac{acf}{bdf} + \frac{aed}{bfd} \\
&= \frac{ac}{bd} + \frac{ae}{bf} \\
&= \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \times \frac{e}{f} \\
&= x \times y + x \times z
\end{align} より左分配法則が成り立つ. 右分配法則については, 任意の \(x, y, z \in \mathbb{Q}\) に対して, 上で示した \(\times\) についての交換法則および左分配法則を使うと,
\[
(x + y) \times z = z \times (x + y) = z \times x + z \times y = x \times z + y \times z
\] となるので成り立つ.

(R4) 最後に, \(\mathbb{Q} \setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}\) の任意の元に対して, 乗法 \(\times\) に関する逆元が存在することを示す. 任意の \(x \in \mathbb{Q} \setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}\) をとる. このとき, \(x \in \mathbb{Q}\) より, \(a \in \mathbb{Z}\) と \(b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) が存在して \(x = \frac{a}{b}\) と書くことができる. ここで \(a = 0\) と仮定すると,
\[
x = \frac{0}{b} = \frac{0}{1} = 0_{\mathbb{Q}}
\] となるが, これは \(x \in \mathbb{Q} \setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}\) であることに反する. ゆえに \(a \neq 0\) であり, \(a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) である. したがって, \((b, a) \in A\) であり, \(\frac{b}{a} \in \mathbb{Q}\) となる. \(y = \frac{b}{a}\) とおくと, \(y \in \mathbb{Q}\) であり,
\begin{align}
x \times y &= \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} = \frac{1ab}{1ab} = \frac{1}{1} = 1_{\mathbb{Q}}, \\
y \times x &= x \times y = 1_{\mathbb{Q}}
\end{align} となる.（なお, \(y = 0_{\mathbb{Q}}\) であると仮定すると, \(\frac{b}{a} = \frac{0}{1}\) であり, \([(b, a)] = [(0, 1)]\) より \((b, a) \sim (0, 1) \Longleftrightarrow b \cdot 1 = a \cdot 0 \Longleftrightarrow b = 0\) となるが, これは \(b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) であることに反する. よって \(y \neq 0_{\mathbb{Q}}\) であり, \(y \in \mathbb{Q} \setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}\) となる. ）

以上, (R1), (R2), (R3), (R4) より, \(\mathbb{Q}\) は体となることが示された.（証明終了）

有理整数環 \(\mathbb{Z}\) は \(\mathbb{Q}\) の部分環とみなすことができる

【命題】有理整数環 \(\mathbb{Z}\) から \(\mathbb{Q}\) への環準同型写像であって, 単射であるものが存在する.

【証明】写像 \(\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}\) を
\[
\varphi(n) = \frac{n}{1}
\] で定義する.

まず, \(\varphi\) が環準同型写像であることを示す. 任意の \(a, b \in \mathbb{Z}\) に対して, 補題 3 を次の式変形の途中で用いると,
\[
\varphi(a + b) = \frac{a + b}{1} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1} = \varphi(a) + \varphi(b)
\] となる. また, 任意の \(a, b \in \mathbb{Z}\) に対して,
\[
\varphi(ab) = \frac{ab}{1} = \frac{ab}{1 \cdot 1} = \frac{a}{1} \times \frac{b}{1} = \varphi(a) \times \varphi(b)
\] が成り立つ. また,
\[
\varphi(1) = \frac{1}{1} = 1_{\mathbb{Q}}
\] となる. よって, \(\varphi\) は環準同型写像である.

最後に, \(\varphi\) が単射であることを示せば証明が終わる. そのためには, \(\rm{Ker} \ \varphi = \{0\}\) を示せば良い. \(\rm{Ker} \ \varphi \supset \{0\}\) は明らか. \(\rm{Ker} \ \varphi \subset \{0\}\) を示すために, 任意の \(a \in \rm{Ker} \ \varphi\) をとる. \(\varphi(a) = 0_{\mathbb{Q}}\) より \(\frac{a}{1} = \frac{0}{1}\) が成り立つ. よって \([(a, 1)] = [(0, 1)]\) である. ゆえに \((a, 1) \sim (0, 1)\) である. したがって, \(a \cdot 1 = 1 \cdot 0\) である. ゆえに, \(a = 0 \in \{0\}\) となる. よって, \(\rm{Ker} \ \varphi \subset \{0\}\) が成り立つ. したがって \(\rm{Ker} \ \varphi = \{0\}\) である.（証明終了）