皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院（修士課程）で数学を専攻した私が, 大学数学において出てくる概念である「同値関係」「同値類」「商集合」などの定義や性質について述べます.
同値関係
【定義】\(X\) を集合とする. \(X\) 上の二項関係 \(\sim\) が次の 3 つの条件をすべて満たすとき, \(\sim\) を（\(X\) 上の）同値関係という.
反射律：任意の \(a \in X\) に対して, \(a \sim a\) が成り立つ.
対称律：元 \(a, b \in X\) に対して, \(a \sim b\) ならば \(b \sim a\) が成り立つ.
推移律：元 \(a, b, c \in X\) に対して, \(a \sim b\) かつ \(b \sim c\) ならば \(a \sim c\) が成り立つ.
次に, 同値関係の例をいくつか挙げたいと思います.
【例 1】\(X\) を集合とする. \(X\) 上の二項関係 \(\sim\) を次のように定める. 元 \(a, b \in X\) に対して,
\[
a \sim b \Longleftrightarrow a = b.
\] このとき, \(\sim\) は同値関係となることが次のようにして確かめられる.
反射律：任意の \(a \in X\) に対して, \(a = a\) より \(a \sim a. \)
対称律：元 \(a, b \in X\) に対して, \(a \sim b \Longleftrightarrow a = b \Longleftrightarrow b = a \Longleftrightarrow b \sim a. \)
推移律：元 \(a, b, c \in X\) に対して, \(a \sim b\) かつ \(b \sim c\) であるとする. このとき, \(\sim\) の定義より \(a = b\) かつ \(b = c\) となる. したがって, \(a = c\) すなわち \(a \sim c\) が成り立つ.
【例 2】\(n\) を整数とする. 整数全体の集合 \(\mathbb{Z}\) 上の二項関係 \(\sim\) を次のようにして定める. \(a, b \in \mathbb{Z}\) に対して,
\[
a \sim b \Longleftrightarrow 「a-b \ は \ n \ で割り切れる」
\] このとき, \(\sim\) は同値関係となることが次のようにして確かめられる.
反射律：任意の \(a \in \mathbb{Z}\) に対して, \(a-a = 0\) は \(n\) で割り切れるから, \(a \sim a. \)
対称律：\(a, b \in \mathbb{Z}\) として, \(a \sim b\) であるとする. このとき, \(a-b\) は \(n\) で割り切れるから, ある \(x \in \mathbb{Z}\) が存在して \(a-b = nx\) となる. ここで, \(b-a = n \cdot (-x)\) であり, \(-x\) は整数なので \(b-a\) も \(n\) で割り切れる. したがって, \(b \sim a\) である.
推移律：元 \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) に対して, \(a \sim b\) かつ \(b \sim c\) であるとする. このとき, \(a-b\) は \(n\) で割り切れるので, ある \(x \in \mathbb{Z}\) が存在して \(a-b = nx\) と書くことができる. 同様に \(b-c\) も \(n\) で割り切れるので, ある \(y \in \mathbb{Z}\) が存在して \(b-c = ny\) と書くことができる. ここで,
\[
a-c = (a-b) + (b-c) = nx + ny = n \cdot (x + y)
\] となり, \(x + y\) はもちろん整数である. したがって, \(a-c\) は \(n\) で割り切れる. ゆえに, \(a \sim c\) となる.
同値類
【定義】\(X\) を集合とし, \(\sim\) を \(X\) 上の同値関係とする. このとき, 各 \(a \in X\) に対して, \(a\) の属する同値類 \([a]\) を
\[
[a] = \{x \in X \mid x \sim a\}
\] で定義する.
この定義において, \(a\) の属する同値類 \([a]\) は \(X\) の部分集合となっています.
【命題】\(X\) を集合とし, \(\sim\) を \(X\) 上の同値関係とする. このとき, 次が成り立つ.
(1) 各 \(a \in X\) に対して, \(a \in [a]. \)
(2) \(a, b \in X\) に対して, \(a \sim b \Longleftrightarrow [a] = [b]. \)
(3) \(a, b \in X\) に対して, \(a \nsim b \Longleftrightarrow [a] \cap [b] = \varnothing. \)
(4) \(\displaystyle \bigcup_{a \in X} [a] = X. \)
【証明】\(X\) を集合とし, \(\sim\) を \(X\) 上の同値関係とする.
(1) \(a \in X\) とする. このとき, \(a \sim a\) より \(a \in [a]. \)
(2) \(a, b \in X\) とする.
まずは \(\Longrightarrow\) を示すために \(a \sim b\) とする. \([a] = [b]\) を示すために, まず \([a] \subset [b]\) を示す. 任意の \(x \in [a]\) をとる. このとき, \([a]\) の定義より \(x \sim a\) が成り立つ. これと \(a \sim b\) より \(x \sim b\) が成り立つ. ゆえに \(x \in [b]\) が成り立つ. したがって, \([a] \subset [b]\) である. 次に \([b] \subset [a]\) を示すために, 任意の元 \(x \in [b]\) をとる. 同値類の定義より \(x \sim b\) となる. ここで, \(a \sim b\) より \(b \sim a\) である. \(x \sim b\) かつ \(b \sim a\) より \(x \sim a\) が成り立つ. ゆえに \(x \in [a]\) である. したがって, \([b] \subset [a]\) である. よって, \([a] \subset [b]\) かつ \([b] \subset [a]\) が成り立つので, \([a] = [b]\) となる. よって, \(\Longrightarrow\) が示された.
次に \(\Longleftarrow\) を示すために, \([a] = [b]\) とする. (1) より \(a \in [a]\) が成り立つので, \(a \in [b]\) が成り立つ. ゆえに, \(a \sim b\) となる. よって, \(\Longleftarrow\) も示された.
(3) \(a, b \in X\) とする. このとき,
\begin{align}
[a] \cap [b] \neq \varnothing &\Longleftrightarrow \exists c \in [a] \cap [b] \\
&\Longleftrightarrow \exists c \in X, \ c \in [a] \ かつ \ c \in [b] \\
&\Longleftrightarrow \exists c \in X, \ c \sim a \ かつ \ c \sim b \\
&\Longleftrightarrow \exists c \in X, \ a \sim c \ かつ \ c \sim b \\
&\Longleftrightarrow a \sim b.
\end{align} なお, 最後の \(「\exists c \in X, \ a \sim c \ かつ \ c \sim b」 \Longleftrightarrow a \sim b\) が成り立つ理由について述べると, \(\Longrightarrow\) が成り立つことは明らかであり, \(\Longleftarrow\) については, 例えば \(c\) として \(a\) をとれば良い. 以上より \([a] \cap [b] \neq \varnothing \Longleftrightarrow a \sim b\) であるので, \(a \nsim b \Longleftrightarrow [a] \cap [b] = \varnothing\) が成り立つ.
(4) まず \((左辺) \subset (右辺)\) であるが, 各 \(a \in X\) に対して \([a] \subset X\) より \(\bigcup_{a \in X} [a] \subset X\) となるので成り立つ.
次に \((左辺) \supset (右辺)\) を示す. 任意の \(x \in X\) をとる. このとき, (1) より \(x \in [x]\) である. これと \([x] \subset \bigcup_{a \in X} [a]\) より \(x \in \bigcup_{a \in X} [a]\) である. ゆえに \((左辺) \supset (右辺)\) である.
以上により \((左辺) = (右辺)\) が示された.（証明終了）
商集合
【定義】集合 \(X\) 上に同値関係 \(\sim\) が与えられているとする. このとき,
\[
X /{\sim} := \{[x] \mid x \in X \}
\] を \(X\) の \(\sim\) による商集合という.
【定義】\(X\) を集合とし, \(\sim\) を \(X\) 上の同値関係とする. 写像 \(\pi: X \rightarrow X/{\sim}\) を
\[
x \mapsto [x]
\] で定義すると, \(\pi\) は全射となる. この \(\pi\) は通常, 自然な全射と呼ばれる.
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