【大学数学】同値関係、同値類、商集合

皆さん, こんにちは. 管理人です. 今回は, 大学と大学院（修士課程）で数学を専攻した私が, 大学数学において出てくる概念である「同値関係」「同値類」「商集合」などの定義や性質について述べます.

同値関係

【定義】$X$ を集合とする. $X$ 上の二項関係 $\sim$ が次の 3 つの条件をすべて満たすとき, $\sim$ を（$X$ 上の）同値関係という.

反射律：任意の $a\in X$ に対して, $a\sim a$ が成り立つ.
対称律：元 $a,b\in X$ に対して, $a\sim b$ ならば $b\sim a$ が成り立つ.
推移律：元 $a,b,c\in X$ に対して, $a\sim b$ かつ $b\sim c$ ならば $a\sim c$ が成り立つ.

次に, 同値関係の例をいくつか挙げたいと思います.

【例 1】$X$ を集合とする. $X$ 上の二項関係 $\sim$ を次のように定める. 元 $a,b\in X$ に対して,
$$a\sim b⟺a=b.$$ このとき, $\sim$ は同値関係となることが次のようにして確かめられる.

反射律：任意の $a\in X$ に対して, $a=a$ より $a\sim a.$
対称律：元 $a,b\in X$ に対して, $a\sim b⟺a=b⟺b=a⟺b\sim a.$
推移律：元 $a,b,c\in X$ に対して, $a\sim b$ かつ $b\sim c$ であるとする. このとき, $\sim$ の定義より $a=b$ かつ $b=c$ となる. したがって, $a=c$ すなわち $a\sim c$ が成り立つ.

【例 2】$n$ を整数とする. 整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ 上の二項関係 $\sim$ を次のようにして定める. $a,b\in \mathbb{Z}$ に対して,
$$a\sim b⟺「a-b\mathrm{は}n\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{り}\mathrm{切}\mathrm{れ}\mathrm{る}」$$ このとき, $\sim$ は同値関係となることが次のようにして確かめられる.

反射律：任意の $a\in \mathbb{Z}$ に対して, $a-a=0$ は $n$ で割り切れるから, $a\sim a.$
対称律：$a,b\in \mathbb{Z}$ として, $a\sim b$ であるとする. このとき, $a-b$ は $n$ で割り切れるから, ある $x\in \mathbb{Z}$ が存在して $a-b=nx$ となる. ここで, $b-a=n\cdot (-x)$ であり, $-x$ は整数なので $b-a$ も $n$ で割り切れる. したがって, $b\sim a$ である.
推移律：元 $a,b,c\in \mathbb{Z}$ に対して, $a\sim b$ かつ $b\sim c$ であるとする. このとき, $a-b$ は $n$ で割り切れるので, ある $x\in \mathbb{Z}$ が存在して $a-b=nx$ と書くことができる. 同様に $b-c$ も $n$ で割り切れるので, ある $y\in \mathbb{Z}$ が存在して $b-c=ny$ と書くことができる. ここで,
$$a-c=(a-b)+(b-c)=nx+ny=n\cdot (x+y)$$ となり, $x+y$ はもちろん整数である. したがって, $a-c$ は $n$ で割り切れる. ゆえに, $a\sim c$ となる.

同値類

【定義】$X$ を集合とし, $\sim$ を $X$ 上の同値関係とする. このとき, 各 $a\in X$ に対して, $a$ の属する同値類 $[a]$ を
$$[a]=\{x\in X\mid x\sim a\}$$ で定義する.

この定義において, $a$ の属する同値類 $[a]$ は $X$ の部分集合となっています.

【命題】$X$ を集合とし, $\sim$ を $X$ 上の同値関係とする. このとき, 次が成り立つ.
(1) 各 $a\in X$ に対して, $a\in [a].$
(2) $a,b\in X$ に対して, $a\sim b⟺[a]=[b].$
(3) $a,b\in X$ に対して, $a\nsim b⟺[a]\cap [b]=\varnothing .$
(4) ${\displaystyle \bigcup _{a\in X}[a]=X.}$

【証明】$X$ を集合とし, $\sim$ を $X$ 上の同値関係とする.

(1) $a\in X$ とする. このとき, $a\sim a$ より $a\in [a].$

(2) $a,b\in X$ とする.
まずは $⟹$ を示すために $a\sim b$ とする. $[a]=[b]$ を示すために, まず $[a]\subset [b]$ を示す. 任意の $x\in [a]$ をとる. このとき, $[a]$ の定義より $x\sim a$ が成り立つ. これと $a\sim b$ より $x\sim b$ が成り立つ. ゆえに $x\in [b]$ が成り立つ. したがって, $[a]\subset [b]$ である. 次に $[b]\subset [a]$ を示すために, 任意の元 $x\in [b]$ をとる. 同値類の定義より $x\sim b$ となる. ここで, $a\sim b$ より $b\sim a$ である. $x\sim b$ かつ $b\sim a$ より $x\sim a$ が成り立つ. ゆえに $x\in [a]$ である. したがって, $[b]\subset [a]$ である. よって, $[a]\subset [b]$ かつ $[b]\subset [a]$ が成り立つので, $[a]=[b]$ となる. よって, $⟹$ が示された.
次に $⟸$ を示すために, $[a]=[b]$ とする. (1) より $a\in [a]$ が成り立つので, $a\in [b]$ が成り立つ. ゆえに, $a\sim b$ となる. よって, $⟸$ も示された.

(3) $a,b\in X$ とする. このとき,
$$\begin{array}{rl}[a]\cap [b]\ne \varnothing & ⟺\mathrm{\exists }c\in [a]\cap [b]\\ & ⟺\mathrm{\exists }c\in X,c\in [a]\mathrm{か}\mathrm{つ}c\in [b]\\ & ⟺\mathrm{\exists }c\in X,c\sim a\mathrm{か}\mathrm{つ}c\sim b\\ & ⟺\mathrm{\exists }c\in X,a\sim c\mathrm{か}\mathrm{つ}c\sim b\\ & ⟺a\sim b.\end{array}$$ なお, 最後の $「\mathrm{\exists }c\in X,a\sim c\mathrm{か}\mathrm{つ}c\sim b」⟺a\sim b$ が成り立つ理由について述べると, $⟹$ が成り立つことは明らかであり, $⟸$ については, 例えば $c$ として $a$ をとれば良い. 以上より $[a]\cap [b]\ne \varnothing ⟺a\sim b$ であるので, $a\nsim b⟺[a]\cap [b]=\varnothing$ が成り立つ.

(4) まず $(\mathrm{左}\mathrm{辺})\subset (\mathrm{右}\mathrm{辺})$ であるが, 各 $a\in X$ に対して $[a]\subset X$ より $\bigcup _{a\in X}[a]\subset X$ となるので成り立つ.
次に $(\mathrm{左}\mathrm{辺})\supset (\mathrm{右}\mathrm{辺})$ を示す. 任意の $x\in X$ をとる. このとき, (1) より $x\in [x]$ である. これと $[x]\subset \bigcup _{a\in X}[a]$ より $x\in \bigcup _{a\in X}[a]$ である. ゆえに $(\mathrm{左}\mathrm{辺})\supset (\mathrm{右}\mathrm{辺})$ である.
以上により $(\mathrm{左}\mathrm{辺})=(\mathrm{右}\mathrm{辺})$ が示された.（証明終了）

商集合

【定義】集合 $X$ 上に同値関係 $\sim$ が与えられているとする. このとき,
$$X/\sim :=\{[x]\mid x\in X\}$$ を $X$ の $\sim$ による商集合という.

【定義】$X$ を集合とし, $\sim$ を $X$ 上の同値関係とする. 写像 $\pi :X\to X/\sim$ を
$$x\mapsto [x]$$ で定義すると, $\pi$ は全射となる. この $\pi$ は通常, 自然な全射と呼ばれる.